6 Medidas Resumidoras

6.1 Dados brutos

Habitualmente, costuma-se armazenar os dados em bancos de dados (dataframes ou tibbles). Entretanto, eles estão registrados de forma aleatória e não classificada. Ao se visualizar um dataframe, é difícil responder perguntas em relação a qualquer variável, principalmente, em grandes banco de dados. Eles se constituem uma lista, um rol de valores colocados na ordem em que foram obtidos. Parecem um jogo de quebra cabeça antes de ser organizado! A Tabela 6.1 é o tipo mais simples de tabela possível. Nela é apresentado um conjunto de dados, os valores dos pesos de 30 recém-nascidos. Não há nenhum significado especial para as linhas e colunas, estão dispostos da maneira como coletados. Eles pouco informam; são apenas os dados na sua forma inicial sem nenhum tratamento ou ordem. São denominados como dados brutos e se constituem no ponto de partida para uma análise. Quando são colocados de maneira crescente e permitem uma compreensão inicial são chamados de dados não agrupados e de dados agrupados, quando classificados em categorias ou intervalos.

Tabela 6.1: Peso de 30 recém-nascidos de partos consecutivos


2,940	3,575	3,150	3,545	3,365	2,825
3,060	2,580	3,110	2,415	4,670	3,670
1,930	3,000	3,115	2,850	2,490	1,465
2,790	4,445	3,290	3,215	3,245	3,420
1,750	2,925	3,345	1,105	3,445	3,150

6.2 Introdução

Nos relatórios ou artigos científicos, a comunicação dos resultados é feita através da combinação de medidas resumidoras e visualização dos dados por meio de tabelas e gráficos, constituindo o que se costuma chamar de Estatística Descritiva. Neste capítulo, serão discutidas as principais medidas resumidoras dos dados de duas maneiras:

Primeiro, um valor em torno do qual os dados têm uma tendência para se reunir ou se agrupar, denominado de medida sumária de localização ou medida de tendência central.
Em segundo lugar, um valor que mede o grau em que os dados se dispersam, denominado de medida de dispersão ou variabilidade

Nos próximos capítulos, desta Parte III, estarão em discussão a construção de Tabelas (Capítulo 7) e visualização dos dados através de gráficos (Capítulo 8).

6.3 Dados usados neste capítulo

Para as demonstrações práticas, será usado o banco de dados dadosMater.xlsx (ver Seção 5.6). Após carregá-lo, serão filtrados os partos a termo e selecionada as variáveis necessárias (idadeMae, anosEst, pesoRN, apgar1). Por última, será extraída com a função slice_sample() do pacote dplyr (Seção 5.5) uma amostra de n = 200. Como cada vez que este comando for reproduzido, retornará uma nova série de 200 valores diferentes do anterior. Para tornar o código reproduzível, retornando o mesmo conjunto de valores, deve-se usar uma “semente” (seed), usando a função set.seed(), cujo argumento é um número que identificará a série gerada. Após extrair a amostra, esta será atribuída a um objeto denominado, dados:

library(dplyr)

set.seed(123)
dados <- readxl::read_excel("dados/dadosMater.xlsx") %>% 
  filter(ig >= 37 & ig < 42) %>% 
  select(idadeMae, anosEst, pesoRN, apgar1) %>% 
  slice_sample(n=200)

6.4 Medidas de tendência central

6.4.1 Média

A média ( $\overline{x}$ ) é a mais usada medida de tendência central para representar um valor típico dentro de um conjunto de números. O conceito mais comum é a média aritmética, que se calcula somando todos os valores do conjunto e dividindo pelo número total de elementos. A média é mais adequada para medidas numéricas simétricas, pois ela é sensível aos valores extremos (outliers).

\[ \overline{x}= \frac{\sum(x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n)}{n} \]

O R base possui uma função para o cálculo da média, mean(), apresentada na Seção 4.4, onde foi mostrado os seus argumentos. Se a variável analisada contiver algum valor ausente (missing), deve-se usar o argumento na.rm = TRUE, para removê-los, pois, caso contrário, a função retorna um resultado como NA (Not Available). Para evitar transtornos, recomenta-se usar sempre o argumento.

mean (dados$pesoRN, na.rm = TRUE)

[1] 3257.95

Para reduzir o número de dígitos decimais, na saída do resultado, pode-se colocar a função mean(), dentro da função round()¹, atribuindo o resultado da função a um objeto, por exemplo media.

media <- round(mean (dados$pesoRN, na.rm = TRUE), 1)
print(media)

[1] 3257.9

Ou, usar a função round(), separadamente:

media <- mean (dados$pesoRN, na.rm = TRUE)
round(media, 1)

[1] 3257.9

6.4.2 Mediana

A mediana (Md) representa o valor central em uma série ordenada de valores. Assim, metade dos valores será igual ou menor que o valor mediano e a outra metade igual ou maior do que ele. Para encontrar a mediana procede-se da seguinte maneira:

Ordenar o conjunto de dados, por exemplo, a variável dados$pesoRN, usando a função sort():

valores_ordenados <- sort(dados$pesoRN)
print(valores_ordenados)

  [1] 2100 2110 2125 2170 2300 2330 2340 2345 2345 2395 2415 2570 2650 2660 2680
 [16] 2685 2695 2700 2710 2720 2730 2735 2750 2750 2770 2775 2780 2780 2795 2805
 [31] 2830 2845 2845 2850 2860 2870 2875 2880 2900 2900 2910 2920 2930 2935 2940
 [46] 2965 2980 2985 2985 3000 3010 3015 3020 3020 3025 3030 3030 3040 3040 3040
 [61] 3050 3050 3055 3055 3060 3060 3060 3075 3080 3080 3080 3090 3090 3105 3115
 [76] 3120 3120 3135 3145 3150 3150 3150 3150 3160 3160 3165 3165 3170 3180 3180
 [91] 3180 3200 3215 3230 3250 3260 3270 3270 3275 3280 3290 3295 3300 3300 3300
[106] 3300 3300 3305 3305 3315 3320 3320 3320 3325 3330 3330 3335 3340 3340 3345
[121] 3355 3370 3385 3395 3400 3405 3410 3410 3410 3415 3415 3425 3430 3430 3430
[136] 3450 3460 3465 3465 3470 3480 3490 3490 3490 3495 3500 3500 3505 3510 3540
[151] 3545 3545 3550 3550 3560 3570 3580 3585 3585 3600 3610 3610 3625 3625 3635
[166] 3640 3650 3660 3660 3665 3710 3715 3715 3730 3730 3770 3780 3795 3830 3840
[181] 3845 3880 3890 3905 3920 3920 3920 3945 3970 3995 4025 4045 4080 4080 4090
[196] 4160 4315 4350 4370 4485

Quando o número de valores é par , caso do exemplo, a mediana é a média dos dois valores do meio, ou seja, o valor central corresponde a média do valor 100 e do valor 101 dos valores ordenados:

mediana = (valores_ordenados[100] + valores_ordenados[101])/2
print(mediana)

[1] 3285

Quando o número de valores no conjunto de dados for ímpar, a mediana é o valor do meio.

No exemplo, tem-se 200 valores. Para transformar a amostra em uma amostra com n ímpar, remover aleatoriamente uma observação dos valores dos dados$pesoRN:

set.seed(234)
index_aleatorio <- sample(length(dados$pesoRN), 1)
index_aleatorio

[1] 31

Ou seja, o valor selecionado é o 31º valor. A seguir, obtem-se o peso aleatório que foi selecionado:

peso_aleatorio <- dados$pesoRN[index_aleatorio]
peso_aleatorio

[1] 3585

Remover o 31º valor (index_aleatório) da lista de dados$pesoRN que corresponde ao peso selecionado:

pesos_restantes <- dados$pesoRN[-index_aleatorio]

Colocar os pesos_restantes em ordem crescente:

restantes_ordenados <- sort(pesos_restantes)
print(restantes_ordenados)

  [1] 2100 2110 2125 2170 2300 2330 2340 2345 2345 2395 2415 2570 2650 2660 2680
 [16] 2685 2695 2700 2710 2720 2730 2735 2750 2750 2770 2775 2780 2780 2795 2805
 [31] 2830 2845 2845 2850 2860 2870 2875 2880 2900 2900 2910 2920 2930 2935 2940
 [46] 2965 2980 2985 2985 3000 3010 3015 3020 3020 3025 3030 3030 3040 3040 3040
 [61] 3050 3050 3055 3055 3060 3060 3060 3075 3080 3080 3080 3090 3090 3105 3115
 [76] 3120 3120 3135 3145 3150 3150 3150 3150 3160 3160 3165 3165 3170 3180 3180
 [91] 3180 3200 3215 3230 3250 3260 3270 3270 3275 3280 3290 3295 3300 3300 3300
[106] 3300 3300 3305 3305 3315 3320 3320 3320 3325 3330 3330 3335 3340 3340 3345
[121] 3355 3370 3385 3395 3400 3405 3410 3410 3410 3415 3415 3425 3430 3430 3430
[136] 3450 3460 3465 3465 3470 3480 3490 3490 3490 3495 3500 3500 3505 3510 3540
[151] 3545 3545 3550 3550 3560 3570 3580 3585 3600 3610 3610 3625 3625 3635 3640
[166] 3650 3660 3660 3665 3710 3715 3715 3730 3730 3770 3780 3795 3830 3840 3845
[181] 3880 3890 3905 3920 3920 3920 3945 3970 3995 4025 4045 4080 4080 4090 4160
[196] 4315 4350 4370 4485

Cálculo da mediana com os valores restantes ordenados. O valor central entre 1 e 199 é o 100º valor:

mediana <- restantes_ordenados[100]
mediana

[1] 3280

Imaginem que sempre que se for calcular a mediana houvesse necessidade de se proceder como realizado acima. Seria tedioso, quase um caos! Entretanto, usando o R, a situação fica bem mais agradável e intuitiva. O R facilita esse trabalho, fornecendo a função median().

Como exemplo, será usada a variável apgar1 já incluída no dataframe dados. Como o Apgar é um escore (1), a medida resumidora mais adequada, realmente, é a mediana.

median (dados$apgar1, na.rm = TRUE)

[1] 8

Exercício

Repetrir o cálculo da mediana dos valores dados$peso e destes dados quando foi extraído um valor..

6.4.3 Moda

Moda (Mo) é o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. O R não possui uma função nativa e direta para calcular a moda como tem para a média (mean()) e a mediana (median()). Isso acontece porque a moda pode não ser única em um conjunto de dados (podem existir múltiplos valores com a mesma frequência máxima) ou pode nem existir (se todos os valores ocorrerem apenas uma vez).Tem o menor nível de sofisticação. No entanto, pode-se facilmente criar uma função própria para calcular a moda ou usar pacotes que oferecem essa funcionalidade, como o DescTools que oferece uma função chamada Mode(). Aqui estão algumas maneiras de calcular a moda em R:

Função personalizada

moda <- function(v) {
  freq_tab <- table(v)
  max_freq <- max(freq_tab)
  moda <- names(freq_tab[freq_tab == max_freq])
  return(moda)
}

Esta função moda()é constituída por:

table(v): Cria uma tabela de frequência dos valores v.
max(freq_tab): Encontra a frequência máxima.
freq_table[freq_table == max_freq]: Seleciona as entradas da tabela de frequência que são iguais à frequência máxima.
names(…): Obtém os nomes (os valores originais) dessas entradas, que são as modas.

Usando a função criada, a moda da variável dados$apgar1 é igual a:

moda (dados$apgar1)

[1] "8"

A função moda() pode ser salva em seu diretório de trabalho, na pasta das suas funções próprias. Quando necessário ela pode ser acessada, como foi visto na Seção 4.4.1.

Função Mode() do pacote DescTools

library(DescTools)
moda <- Mode(dados$apgar1)
print(moda)

[1] 8
attr(,"freq")
[1] 85

6.4.4 Quantil

Uma medida de localização bastante utilizada são os quantis que são pontos estabelecidos em intervalos regulares que dividem a amostra em subconjuntos iguais. Se estes subconjuntos são em número de 100, são denominados de percentis; se são em número de 10, são os decis e em número de 4, são os quartis. A função nativa no R para obter o quantil é quantile().

Para determinar os três quartis do peso dos recém-nascidos (dados$pesoRN), usa-se:

quantile (dados$pesoRN, c (0.25, 0.50, 0.75))

    25%     50%     75% 
3007.50 3285.00 3541.25

Observe que o percentil 50º é igual a mediana. O percentil 75º é o ponto do conjunto de dados onde 75% dos recém-nascidos têm um peso inferior a 3541.25g e 25% está acima deste valor.

6.4.5 Média aparada

As médias aparadas são estimadores robustos da tendência central. Para calcular uma média aparada, é removida uma quantidade predeterminada de observações em cada lado de uma distribuição e realizada a média das observações restantes. Um exemplo de média aparada é a própria mediana.

A base R tem como calcular a média aparada acrescentando o argumento trim =, proporção a ser aparada. Se for aparado 20%, usa-se trim = 0.2. isto significa que serão removidos 20% dos dados dos dois extremos. No caso da amostra de 15 recém-nascidos, serão removidos três valores mais baixos e três valores mais altos, passando a mostra a ter 9 valores, e a média aparada será a média destes 9 valores.

O comando para obter a média aparada é:

round(mean (dados$pesoRN, na.rm = TRUE, trim = 0.20), 1)

[1] 3258.6

6.5 Medidas de Dispersão

6.5.1 Amplitude

A amplitude de um grupo de medições é definida como a diferença entre a maior observação e a menor.
No conjunto de dados dos pesos dos recém-nascidos, a amplitude pode ser obtida, no R, com a função range(), que retorna o valor mínimo e o máximo.

range (dados$pesoRN, na.rm = TRUE)

[1] 2100 4485

6.5.2 Intervalo Interquartil

A intervalo interquartil (IIQ), também conhecido como amplitude interquartil (AIQ) é uma forma de média aparada. É simplesmente a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil, ou seja, a diferença entre o percentil 75 e o percentil 25. Considere a variável escolaridade (dados$anosEst), anos de estudos completos.

Os percentis 25 e 75 são obtidos, usando a função quantile(), vista acima, ou com a função summary() , que retorna os valores mínimo, primeiro quartil, mediana, média, terceiro quartil e máximo.

quantile (dados$anosEst, c(0.25,0.75))

25% 75% 
  5   9

summary(dados$anosEst)

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
   0.00    5.00    7.50    7.29    9.00   16.00

Portanto, o IIQ está entre 5 a 9 anos de estudo ou, 4 anos de estudos completos. Em outras palavras, 50% das mulheres desta amostra têm entre 5 a 9 anos de estudo.

O R possui uma função específica para calcular o intervalo interquartil, denominada IQR() e incluída no R base. Ela possui os seguintes argumentos:

x $\to$ Representa o vetor numérico;
na.rm $\to$ Este assume um valor lógico, TRUE ou FALSE, indicando se os valores ausentes devem ser removidos ou não;
type $\to$ Representa um número inteiro selecionando um dos muitos algoritmos de quantil. Este é um parâmetro opcional.

IQR(dados$anosEst, na.rm = TRUE)

[1] 4

6.5.3 Variância e Desvio Padrão

A variância e o desvio padrão fornecem uma indicação de quão aglomerados em torno da média os dados de uma amostra estão. Estes tipos de medidas representam desvios (erros)da média. Quando se verifica o desvio de cada valor (x) em relação à média $\overline{x}$, os desvios positivos se anulam com os negativos, resultando em uma soma igual a zero.

A consequência deste fato é que não é possível resumir os desvios numa única medida de variabilidade. Para se chegar a uma medida de variabilidade há necessidade de se eliminar os sinais, antes de somar todos os desvios em relação à média.

Uma maneira de se fazer isso é elevar todas as diferenças ao quadrado. Assim, se obtém o desvio em relação à média elevado ao quadrado. A soma destes valores é denominada de Soma dos Quadrados (SQ) dos Desvios ou Soma dos Erros ao Quadrado. Se o interesse é apenas saber o erro ou desvio médio, divide-se por n (tamanho da amostra). No entanto, em geral o interesse se concentra em usar o desvio ou erro na amostra para estimar o erro na população. Dessa maneira, divide-se a Soma dos Quadrados por $n-1$. Essa medida é conhecida como variância ($s^2$). O divisor, $n – 1$, é denominado de graus de liberdade (gl) associados à variância.

Os graus de liberdade representam o número de desvios que estão livres para variar. É um conceito de difícil explicação, mas é possível compreendê-lo, usando a seguinte explicação:

Graus de liberdade

Suponha uma maternidade há 50 anos atrás, quando não havia alojamento conjunto. Nessa época era comum os recém-nascidos normais ficarem em um berçário. A cada horário de amamentação eles eram levados para os quartos de suas mães para mamar. Posteriormente, eram trazidos para o berçário e colocados nos berços até a próxima mamada. Suponha que, em um determinado momento, havia 15 bebês e que, no berçário, existiam 15 berços (postos) para colocá-los durante o intervalo das mamadas. Quando o primeiro recém-nascido chega, a enfermeira poderá escolher qualquer um dos berços para o colocar. Depois, quando o próximo recém-nascido chegar, ela terá 14 opções de escolha, pois um dos berços está ocupado. Ainda existe uma boa liberdade de escolha. No entanto, à medida que os recém-nascidos forem sendo trazidos para o berçário, chegará a um ponto em que 14 berços estarão ocupados. Agora, a enfermeira não terá liberdade de escolha, pois só resta um berço. Nesse exemplo existem 14 graus de liberdade (gl)². Para o último recém-nascido não houve liberdade de escolha (2). Portanto, os graus de liberdade são iguais ao tamanho da amostra menos um ($n-1$).

A variância é a razão entre a soma dos quadrados e os graus de liberdade (observações realizadas menos um).

\[ s^2= \frac{\sum(x_i - \overline{x})^2}{n-1} \]

No R existem embutidas as funções sd() e var()que facilmente calculam essas medidas de dispersão.

Usando a variável dados$pesoRN, tem-se:

var(dados$pesoRN, na.rm =TRUE)

[1] 199704.3

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: $s = \sqrt var$

sqrt (var(dados$pesoRN))

[1] 446.8829

Ou, usando a função sd() e arredondando para 1 dígito decimal:

round(sd (dados$pesoRN, na.rm = TRUE), 1)

[1] 446.9

A variância e desvio padrão são medidas de variabilidade e revelam quão bem a média representa os dados. Informa se ela está funcionando bem como modelo. Pequenos desvios padrão mostram que existe pouca variabilidade nos dados, que eles se aproximam da média. Quando existe um grande desvio padrão, a média não é muito precisa para representar os dados.

O desvio padrão, além de medir a precisão com que a média representa os dados, também informa sobre o formato dos dados e por isso é uma medida de dispersão. Em uma amostra onde desvio padrão é pequeno, os dados se agrupam próximo a média e o formato da distribuição fica mais pontiagudo (curva em azul, Figura 6.1). Nesse caso a média representa bem os dados. Em outra amostra, com a mesma média anterior, mas com os dados mais dispersos entorno da média, o desvio padrão é maior e o formato da distribuição fica achatado (curva verde, na Figura Figura 6.1). Nesse caso a média não é uma boa representação dos dados.

Figura 6.1: Dispersão dos dados em torno da média.

6.5.4 Coeficiente de Variação

O desvio padrão por si só tem limitações. Um desvio padrão igual a 2 pode ser considerado pequeno para um conjunto de valores cuja média é 100. Entretanto, se a média for 5, ele se torna muito grande. Além disso, o desvio padrão por ser expresso na mesma unidade dos dados, não permite aplicá-lo na comparação de dois ou mais conjunto de dados que têm unidades diferentes. Para eliminar essas limitações, é possível caracterizar a dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos, usando uma medida denominada Coeficiente de Variação (CV), também conhecido como como Desvio Padrão Relativo ou Coeficiente de Variação de Pearson. É expresso, em geral como uma porcentagem, sendo definido como a razão do desvio padrão pela média:

\[ CV = \frac{s}{\overline{x}} \]

Multiplicando o valor da equação por 100 tem-se o CV percentual. O R não possui uma função específica para calcular o CV.

Foi criada uma função específica para isso,já multiplicada por 100.

coef_var <- function (valores) {
  (sd(valores, na.rm=TRUE) / mean(valores, na.rm=TRUE))*100}

Portanto, o CV da variável dados$pesoRN é igual a:

round (coef_var (dados$pesoRN),1)

[1] 13.7

Usdando outra variável do banco de dados, por exemplo, dados$idadeMae, o CV será igual a:

round(coef_var (dados$idadeMae), 1)

[1] 25

O peso do recem-nascido tem um CV = 13.7 % e a idade materna um CV = 25 %, mostrando que esta tem uma maior variabilidade. Quanto menor o desvio padrão, menor o CV e, consequentemente, menor a variabilidade. Um CV $\ge$ 50%, sugere que a variável tem uma distribuição assimétrica.

6.5.5 Escolha da medida resumidora

A seleção da medida de tendência central mais adequada depende de vários fatores, incluindo a natureza dos dados e do propósito da sumarização.

O tipo da variável tem substancial influência na escolha da medida de tendência central a ser usada. A moda é mais apropriada para dados nominais e seu uso com variáveis ordinais resulta em uma perda no poder em termos de informação que se poderia obter dos dados.

A mediana é mais adequada para variáveis ordinais, embora possa ser usada para variáveis contínuas, especialmente quando a distribuição dos dados é assimétrica. A mediana não deveria ser usada com dados nominais porque os postos assumidos não podem ser obtidos com dados de nível nominal.

Finalmente, a média somente deve ser usada com dados contínuos simétricos, se houver assimetria a mediana deve ser preferida.

As medidas de dispersão devem estar associadas a uma medida de tendência central. Elas caracterizam a variabilidade dos dados na amostra. Com dados ordinais usar a amplitude ou o intervalo interquartil. O desvio padrão não é apropriado em dados ordinais devido à natureza não numérica destes.

Com os dados numéricos deve-se usar o desvio padrão, que utiliza toda a informação nos dados, ou o intervalo interquartil (IIQ). Quando os dados forem simétricos, usar a média acompanhada do desvio padrão, caso contrário, usar a mediana e o IIQ. Não misturar e combinar medidas (3).

Usa-se esta sintaxe: round(x, digits = 0), onde x é o numero que se quer arredondar e digits é número de casas decimais. O padrão é 0, ou seja, arredonda para o inteiro mais próximo.↩︎
No texto deste livro, graus de liberdade são abreviados por gl. Muitas vezes, é usado a abreviação df de degree of freedom porque em algumas funções aparecem como df e optou-se por manter sem a tradução.↩︎

# Medidas Resumidoras {#sec-resumo} ## Dados brutos {#sec-dadosbrutos} Habitualmente, costuma-se armazenar os dados em bancos de dados (*dataframes* ou *tibbles*). Entretanto, eles estão registrados de forma aleatória e não classificada. Ao se visualizar um dataframe, é difícil responder perguntas em relação a qualquer variável, principalmente, em grandes banco de dados. Eles se constituem uma lista, um rol de valores colocados na ordem em que foram obtidos. Parecem um jogo de quebra cabeça antes de ser organizado! A @tbl-raw é o tipo mais simples de tabela possível. Nela é apresentado um conjunto de dados, os valores dos pesos de 30 recém-nascidos. Não há nenhum significado especial para as linhas e colunas, estão dispostos da maneira como coletados. Eles pouco informam; são apenas os dados na sua forma inicial sem nenhum tratamento ou ordem. São denominados como *dados brutos* e se constituem no ponto de partida para uma análise. Quando são colocados de maneira crescente e permitem uma compreensão inicial são chamados de dados não agrupados e de dados agrupados, quando classificados em categorias ou intervalos. ```{r} #| echo: false #| label: tbl-raw #| tbl.align: 'center' #| tbl-cap: "Peso de 30 recém-nascidos de partos consecutivos" #| message: false #| warning: false library(dplyr) library(flextable) library(officer) set.seed(123) dados <- readxl::read_excel("dados/dadosMater.xlsx") %>% select(pesoRN, sexo) %>% mutate(sexo = factor(sexo, levels = c(1,2), labels = c("masc","fem"))) %>% slice_sample(n=30) matriz <- matrix(dados$pesoRN, nrow = 5,ncol = 6) df <- as.data.frame(matriz) std_border = fp_border(color = "black", style = "solid", width = 1.5) ft <- flextable(df) %>% set_header_labels(V1 = " ", V2 = " ", V3 = " ", V4 = " ", V5 = " ", V6 = " ") %>% border_remove() %>% hline(part = "header", border = std_border) %>% hline_bottom(part = "body", border = std_border) ft ``` ## Introdução Nos relatórios ou artigos científicos, a comunicação dos resultados é feita através da combinação de medidas resumidoras e visualização dos dados por meio de tabelas e gráficos, constituindo o que se costuma chamar de **Estatística Descritiva**. Neste capítulo, serão discutidas as principais medidas resumidoras dos dados de duas maneiras: - Primeiro, um valor em torno do qual os dados têm uma tendência para se reunir ou se agrupar, denominado de **medida sumária de localização** ou **medida de tendência central**. - Em segundo lugar, um valor que mede o grau em que os dados se dispersam, denominado de **medida de dispersão** ou **variabilidade** Nos próximos capítulos, desta Parte III, estarão em discussão a construção de Tabelas (@sec-tabelas) e visualização dos dados através de gráficos (@sec-graficos). ## Dados usados neste capítulo {#sec-dados6} Para as demonstrações práticas, será usado o banco de dados `dadosMater.xlsx` (ver @sec-dadosMater). Após carregá-lo, serão filtrados os partos a termo e selecionada as variáveis necessárias (idadeMae, anosEst, pesoRN, apgar1). Por última, será extraída com a função `slice_sample()` do pacote `dplyr` (@sec-dplyr) uma amostra de n = 200. Como cada vez que este comando for reproduzido, retornará uma nova série de 200 valores diferentes do anterior. Para tornar o código reproduzível, retornando o mesmo conjunto de valores, deve-se usar uma “semente” (`seed`), usando a função `set.seed()`, cujo argumento é um número que identificará a série gerada. Após extrair a amostra, esta será atribuída a um objeto denominado, `dados`: ```{r} #| message: false #| warning: false library(dplyr) set.seed(123) dados <- readxl::read_excel("dados/dadosMater.xlsx") %>% filter(ig >= 37 & ig < 42) %>% select(idadeMae, anosEst, pesoRN, apgar1) %>% slice_sample(n=200) ``` ## Medidas de tendência central ### Média A média ( $\overline{x}$ ) é a mais usada medida de tendência central para representar um valor típico dentro de um conjunto de números. O conceito mais comum é a **média aritmética**, que se calcula somando todos os valores do conjunto e dividindo pelo número total de elementos. A média é mais adequada para medidas numéricas simétricas, pois ela é sensível aos valores extremos (*outliers*). $$ \overline{x}= \frac{\sum(x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n)}{n} $$ O R base possui uma função para o cálculo da média, `mean()`, apresentada na @sec-funcoes, onde foi mostrado os seus argumentos. Se a variável analisada contiver algum valor ausente (*missing*), deve-se usar o argumento `na.rm = TRUE`, para removê-los, pois, caso contrário, a função retorna um resultado como NA (*Not Available*). Para evitar transtornos, recomenta-se usar sempre o argumento. ```{r} mean (dados$pesoRN, na.rm = TRUE) ``` Para reduzir o número de dígitos decimais, na saída do resultado, pode-se colocar a função `mean()`, dentro da função `round()`[^06-medidasresumidoras-1], atribuindo o resultado da função a um objeto, por exemplo `media`. [^06-medidasresumidoras-1]: Usa-se esta sintaxe: `round(x, digits = 0)`, onde `x` é o numero que se quer arredondar e `digits` é número de casas decimais. O padrão é `0`, ou seja, arredonda para o inteiro mais próximo. ```{r} media <- round(mean (dados$pesoRN, na.rm = TRUE), 1) print(media) ``` Ou, usar a função `round()`, separadamente: ```{r} media <- mean (dados$pesoRN, na.rm = TRUE) round(media, 1) ``` ### Mediana A mediana (Md) representa o valor central em uma série ordenada de valores. Assim, metade dos valores será igual ou menor que o valor mediano e a outra metade igual ou maior do que ele. Para encontrar a mediana procede-se da seguinte maneira: 1. Ordenar o conjunto de dados, por exemplo, a variável `dados$pesoRN`, usando a função `sort()`: ```{r} valores_ordenados <- sort(dados$pesoRN) print(valores_ordenados) ``` 2. Quando o número de valores é par , caso do exemplo, a mediana é a média dos dois valores do meio, ou seja, o valor central corresponde a média do valor 100 e do valor 101 dos valores ordenados: ```{r} mediana = (valores_ordenados[100] + valores_ordenados[101])/2 print(mediana) ``` 3. Quando o número de valores no conjunto de dados for ímpar, a mediana é o valor do meio. - No exemplo, tem-se 200 valores. Para transformar a amostra em uma amostra com *n* ímpar, remover aleatoriamente uma observação dos valores dos `dados$pesoRN`: ```{r} set.seed(234) index_aleatorio <- sample(length(dados$pesoRN), 1) index_aleatorio ``` - Ou seja, o valor selecionado é o `r index_aleatorio`º valor. A seguir, obtem-se o peso aleatório que foi selecionado: ```{r} peso_aleatorio <- dados$pesoRN[index_aleatorio] peso_aleatorio ``` - Remover o `r index_aleatorio`º valor (index_aleatório) da lista de `dados$pesoRN` que corresponde ao peso selecionado: ```{r} pesos_restantes <- dados$pesoRN[-index_aleatorio] ``` - Colocar os pesos_restantes em ordem crescente: ```{r} restantes_ordenados <- sort(pesos_restantes) print(restantes_ordenados) ``` - Cálculo da mediana com os valores restantes ordenados. O valor central entre 1 e 199 é o 100º valor: ```{r} mediana <- restantes_ordenados[100] mediana ``` Imaginem que sempre que se for calcular a mediana houvesse necessidade de se proceder como realizado acima. Seria tedioso, quase um caos! Entretanto, usando o R, a situação fica bem mais agradável e intuitiva. O R facilita esse trabalho, fornecendo a função `median()`. Como exemplo, será usada a variável `apgar1` já incluída no dataframe `dados`. Como o Apgar é um escore @american2006apgar, a medida resumidora mais adequada, realmente, é a mediana. ```{r} median (dados$apgar1, na.rm = TRUE) ``` ::: callout-tip ## Exercício Repetrir o cálculo da mediana dos valores `dados$peso` e destes dados quando foi extraído um valor.. ::: ### Moda Moda (Mo) é o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. O *R* não possui uma função nativa e direta para calcular a moda como tem para a média (`mean()`) e a mediana (`median()`). Isso acontece porque a moda pode não ser única em um conjunto de dados (podem existir múltiplos valores com a mesma frequência máxima) ou pode nem existir (se todos os valores ocorrerem apenas uma vez).Tem o menor nível de sofisticação. No entanto, pode-se facilmente criar uma função própria para calcular a moda ou usar pacotes que oferecem essa funcionalidade, como o `DescTools` que oferece uma função chamada `Mode()`. Aqui estão algumas maneiras de calcular a moda em R: **Função personalizada** ```{r} moda <- function(v) { freq_tab <- table(v) max_freq <- max(freq_tab) moda <- names(freq_tab[freq_tab == max_freq]) return(moda) } ``` Esta função `moda()`é constituída por: - **table(v)**: Cria uma tabela de frequência dos valores v. - **max(freq_tab)**: Encontra a frequência máxima. - **freq_table\[freq_table == max_freq\]**: Seleciona as entradas da tabela de frequência que são iguais à frequência máxima. - **names(...)**: Obtém os nomes (os valores originais) dessas entradas, que são as modas. Usando a função criada, a moda da variável `dados$apgar1` é igual a: ```{r} moda (dados$apgar1) ``` A função `moda()` pode ser salva em seu diretório de trabalho, na pasta das suas funções próprias. Quando necessário ela pode ser acessada, como foi visto na @sec-funcpropria. **Função Mode() do pacote DescTools** ```{r} library(DescTools) moda <- Mode(dados$apgar1) print(moda) ``` ### Quantil {#sec-quantil} Uma medida de localização bastante utilizada são os **quantis** que são pontos estabelecidos em intervalos regulares que dividem a amostra em subconjuntos iguais. Se estes subconjuntos são em número de 100, são denominados de **percentis**; se são em número de 10, são os **decis** e em número de 4, são os **quartis**. A função nativa no R para obter o quantil é `quantile()`. Para determinar os três quartis do peso dos recém-nascidos (`dados$pesoRN`), usa-se: ```{r} quantile (dados$pesoRN, c (0.25, 0.50, 0.75)) ``` Observe que o percentil 50º é igual a mediana. O percentil 75º é o ponto do conjunto de dados onde 75% dos recém-nascidos têm um peso inferior a `r quantile (dados$pesoRN, 0.75)`g e 25% está acima deste valor. ### Média aparada As médias aparadas são estimadores robustos da tendência central. Para calcular uma média aparada, é removida uma quantidade predeterminada de observações em cada lado de uma distribuição e realizada a média das observações restantes. Um exemplo de média aparada é a própria mediana. A base R tem como calcular a média aparada acrescentando o argumento `trim =`, proporção a ser aparada. Se for aparado 20%, usa-se `trim = 0.2`. isto significa que serão removidos 20% dos dados dos dois extremos. No caso da amostra de 15 recém-nascidos, serão removidos três valores mais baixos e três valores mais altos, passando a mostra a ter 9 valores, e a média aparada será a média destes 9 valores. O comando para obter a média aparada é: ```{r} round(mean (dados$pesoRN, na.rm = TRUE, trim = 0.20), 1) ``` ## Medidas de Dispersão ### Amplitude A amplitude de um grupo de medições é definida como a diferença entre a maior observação e a menor.\ No conjunto de dados dos pesos dos recém-nascidos, a amplitude pode ser obtida, no *R*, com a função `range()`, que retorna o valor mínimo e o máximo. ```{r} range (dados$pesoRN, na.rm = TRUE) ``` ### Intervalo Interquartil A intervalo interquartil (IIQ), também conhecido como amplitude interquartil (AIQ) é uma forma de média aparada. É simplesmente a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil, ou seja, a diferença entre o percentil 75 e o percentil 25. Considere a variável escolaridade (`dados$anosEst`), anos de estudos completos. Os percentis 25 e 75 são obtidos, usando a função `quantile()`, vista acima, ou com a função `summary()` , que retorna os valores mínimo, primeiro quartil, mediana, média, terceiro quartil e máximo. ```{r} quantile (dados$anosEst, c(0.25,0.75)) ``` ```{r} summary(dados$anosEst) ``` Portanto, o IIQ está entre `r quantile (dados$anosEst, 0.25)` a `r quantile (dados$anosEst, 0.75)` anos de estudo ou, `r quantile (dados$anosEst, 0.75) - quantile (dados$anosEst, 0.25)` anos de estudos completos. Em outras palavras, 50% das mulheres desta amostra têm entre `r quantile (dados$anosEst, 0.25)` a `r quantile (dados$anosEst, 0.75)` anos de estudo. O R possui uma função específica para calcular o intervalo interquartil, denominada `IQR()` e incluída no `R` base. Ela possui os seguintes argumentos: **x** $\to$ Representa o vetor numérico;\ **na.rm** $\to$ Este assume um valor lógico, TRUE ou FALSE, indicando se os valores ausentes devem ser removidos ou não;\ **type** $\to$ Representa um número inteiro selecionando um dos muitos algoritmos de quantil. Este é um parâmetro opcional. ```{r} IQR(dados$anosEst, na.rm = TRUE) ``` ### Variância e Desvio Padrão {#sec-variancia} A variância e o desvio padrão fornecem uma indicação de quão aglomerados em torno da média os dados de uma amostra estão. Estes tipos de medidas representam desvios (erros)da média. Quando se verifica o desvio de cada valor (x) em relação à média $\overline{x}$, os desvios positivos se anulam com os negativos, resultando em uma soma igual a zero. A consequência deste fato é que não é possível resumir os desvios numa única medida de variabilidade. Para se chegar a uma medida de variabilidade há necessidade de se eliminar os sinais, antes de somar todos os desvios em relação à média. Uma maneira de se fazer isso é elevar todas as diferenças ao quadrado. Assim, se obtém o desvio em relação à média elevado ao quadrado. A soma destes valores é denominada de *Soma dos Quadrados (SQ) dos Desvios* ou *Soma dos Erros ao Quadrado*. Se o interesse é apenas saber o erro ou desvio médio, divide-se por *n* (tamanho da amostra). No entanto, em geral o interesse se concentra em usar o desvio ou erro na amostra para estimar o erro na população. Dessa maneira, divide-se a Soma dos Quadrados por $n-1$. Essa medida é conhecida como **variância** ($s^2$). O divisor, $n – 1$, é denominado de *graus de liberdade* (gl) associados à variância. Os graus de liberdade representam o número de desvios que estão livres para variar. É um conceito de difícil explicação, mas é possível compreendê-lo, usando a seguinte explicação: ::: callout-note ## Graus de liberdade {#sec-gl} Suponha uma maternidade há 50 anos atrás, quando não havia alojamento conjunto. Nessa época era comum os recém-nascidos normais ficarem em um berçário. A cada horário de amamentação eles eram levados para os quartos de suas mães para mamar. Posteriormente, eram trazidos para o berçário e colocados nos berços até a próxima mamada. Suponha que, em um determinado momento, havia 15 bebês e que, no berçário, existiam 15 berços (postos) para colocá-los durante o intervalo das mamadas. Quando o primeiro recém-nascido chega, a enfermeira poderá escolher qualquer um dos berços para o colocar. Depois, quando o próximo recém-nascido chegar, ela terá 14 opções de escolha, pois um dos berços está ocupado. Ainda existe uma boa liberdade de escolha. No entanto, à medida que os recém-nascidos forem sendo trazidos para o berçário, chegará a um ponto em que 14 berços estarão ocupados. Agora, a enfermeira não terá liberdade de escolha, pois só resta um berço. Nesse exemplo existem 14 graus de liberdade (gl)[^06-medidasresumidoras-2]. Para o último recém-nascido não houve liberdade de escolha @field2012df. Portanto, os graus de liberdade são iguais ao tamanho da amostra menos um ($n-1$). ::: [^06-medidasresumidoras-2]: No texto deste livro, `graus de liberdade` são abreviados por `gl`. Muitas vezes, é usado a abreviação `df` de `degree of freedom` porque em algumas funções aparecem como df e optou-se por manter sem a tradução. A variância é a razão entre a soma dos quadrados e os graus de liberdade (observações realizadas menos um). $$ s^2= \frac{\sum(x_i - \overline{x})^2}{n-1} $$ No *R* existem embutidas as funções `sd()` e `var()`que facilmente calculam essas medidas de dispersão. Usando a variável `dados$pesoRN`, tem-se: ```{r} var(dados$pesoRN, na.rm =TRUE) ``` O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: $s = \sqrt var$ ```{r} sqrt (var(dados$pesoRN)) ``` Ou, usando a função `sd()` e arredondando para 1 dígito decimal: ```{r} round(sd (dados$pesoRN, na.rm = TRUE), 1) ``` A variância e desvio padrão são medidas de variabilidade e revelam quão bem a média representa os dados. Informa se ela está *funcionando bem como modelo*. Pequenos desvios padrão mostram que existe pouca variabilidade nos dados, que eles se aproximam da média. Quando existe um grande desvio padrão, a média não é muito precisa para representar os dados. O desvio padrão, além de medir a precisão com que a média representa os dados, também informa sobre o formato dos dados e por isso é uma medida de dispersão. Em uma amostra onde desvio padrão é pequeno, os dados se agrupam próximo a média e o formato da distribuição fica mais pontiagudo (curva em azul, @fig-dispersao). Nesse caso a média representa bem os dados. Em outra amostra, com a mesma média anterior, mas com os dados mais dispersos entorno da média, o desvio padrão é maior e o formato da distribuição fica achatado (curva verde, na Figura @fig-dispersao). Nesse caso a média não é uma boa representação dos dados. ```{r #fig-dispersao, echo=FALSE, message=FALSE, fig.align = 'center', fig.cap="Dispersão dos dados em torno da média.", fig.pos="H"} curve (dnorm (x, mean=0, sd=0.7), col="steelblue", lty=1, lwd=2, ylim = c(0, 0.6), xlim = c(-3.5, 3.5), ylab = "Densidade", xlab = "X", bty = "n") box(bty = "L") abline (v= 0, lwd = 2, lty = 2, col = "red") curve (dnorm (x, mean=0, sd=1.3), col="green3", lty=1, lwd=2, add=T) ``` ### Coeficiente de Variação O desvio padrão por si só tem limitações. Um desvio padrão igual a 2 pode ser considerado pequeno para um conjunto de valores cuja média é 100. Entretanto, se a média for 5, ele se torna muito grande. Além disso, o desvio padrão por ser expresso na mesma unidade dos dados, não permite aplicá-lo na comparação de dois ou mais conjunto de dados que têm unidades diferentes. Para eliminar essas limitações, é possível caracterizar a dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos, usando uma medida denominada Coeficiente de Variação (CV), também conhecido como como *Desvio Padrão Relativo* ou *Coeficiente de Variação de Pearson*. É expresso, em geral como uma porcentagem, sendo definido como a razão do desvio padrão pela média: $$ CV = \frac{s}{\overline{x}} $$ Multiplicando o valor da equação por 100 tem-se o CV percentual. O *R* não possui uma função específica para calcular o CV. Foi criada uma função específica para isso,já multiplicada por 100. ```{r} coef_var <- function (valores) { (sd(valores, na.rm=TRUE) / mean(valores, na.rm=TRUE))*100} ``` Portanto, o CV da variável `dados$pesoRN` é igual a: ```{r} round (coef_var (dados$pesoRN),1) ``` Usdando outra variável do banco de dados, por exemplo, `dados$idadeMae`, o CV será igual a: ```{r} round(coef_var (dados$idadeMae), 1) ``` O peso do recem-nascido tem um CV = `r round(coef_var (dados$pesoRN), 1)` % e a idade materna um CV = `r round(coef_var (dados$idadeMae), 1)` %, mostrando que esta tem uma maior variabilidade. Quanto menor o desvio padrão, menor o CV e, consequentemente, menor a variabilidade. Um CV $\ge$ 50%, sugere que a variável tem uma distribuição assimétrica. ### Escolha da medida resumidora A seleção da medida de tendência central mais adequada depende de vários fatores, incluindo a natureza dos dados e do propósito da sumarização. O tipo da variável tem substancial influência na escolha da medida de tendência central a ser usada. A moda é mais apropriada para dados nominais e seu uso com variáveis ordinais resulta em uma perda no poder em termos de informação que se poderia obter dos dados. A mediana é mais adequada para variáveis ordinais, embora possa ser usada para variáveis contínuas, especialmente quando a distribuição dos dados é assimétrica. A mediana não deveria ser usada com dados nominais porque os postos assumidos não podem ser obtidos com dados de nível nominal. Finalmente, a média somente deve ser usada com dados contínuos simétricos, se houver assimetria a mediana deve ser preferida. As medidas de dispersão devem estar associadas a uma medida de tendência central. Elas caracterizam a variabilidade dos dados na amostra. Com dados ordinais usar a amplitude ou o intervalo interquartil. O desvio padrão não é apropriado em dados ordinais devido à natureza não numérica destes. Com os dados numéricos deve-se usar o desvio padrão, que utiliza toda a informação nos dados, ou o intervalo interquartil (IIQ). Quando os dados forem simétricos, usar a média acompanhada do desvio padrão, caso contrário, usar a mediana e o IIQ. Não misturar e combinar medidas @bowers2008scratch.